振荡波的形成

水滴下端面受到冲击，形成震荡波，水滴很小，波会在边界面上发生来回反射干涉.

冲击波的性质与两个基本参数有关：

其一是体积模量，（修正参数与什么有关）记作k，就是由压强导致的水滴体积的压缩程度，这个是形成波的原因，并且这个量和密度共同决定波速速；

其二是体积粘滞系数，记作σ，这是水滴受到压缩和膨胀的时候由于分子之间相互作用力对压缩和膨胀形成的阻碍作用，作用力大小与速度梯度成正比，并与速度梯度方向平行，这是与层流粘滞力不同的地方。这个力的主要作用是对冲击波的减弱，衰减的能量转变为热量，后面将给出数学证明。

冲击波的频率将主要由液滴的边界和体积模量的影响，后面也会给出简单的数学解析解释对应为由边界引起的不同振动模式的频率，一般0阶1阶模式比较明显，高阶模式振幅较小；

粘滞系数也会对频率有所影响但由于粘滞系数比较小，进行小阻尼近似的时候忽略这种影响，但粘滞力会引起的波动振幅衰减，导致共振频率的展宽，这点不能忽略

水可以看成粘滞力比较小的液体，当温度升高时，体积粘滞系数σ减小，波动衰减比较慢，频率展宽则不如低温时明显，但高阶模式衰减更慢，因此频率成分更多。

下面将用数学解析来证明（P.S.：这里所用数学有点繁琐，所以我简化了模型，方程一般采用一维形式，求解时也采用简化形式，重在说明机理。符号约定：u代表介质位移，角标代表对某个参量取偏微分）：

(1)体积粘滞系数对于声波的振幅起衰减作用

当

时,

(1)

当σ很小时σ=0,(1)式退化为波动方程

(2)

求解（1）式，令

令

将α、β带入A

为振幅衰减项，

为波动项

令

当

时

将η对γ级数展开

此时为弱阻尼近似，

为弱阻尼近似条件方程的解近似为

可知，σ导致振动波的衰减

(2)水滴的边界对振动频率的影响（也就是形成共振频率）

边界作用

边界

求解波动方程

令

代入得

即

两端分别为x，t的函数，所以都等于一个常数，即

其中

对于

式，得

由

得

其中

对于

式，得

这是一个波动解，对应频率为

波长为

当

时为基波